JENIS-JENIS MATRIKS KHUSUS

JENIS-JENIS MATRIKS KHUSUS

Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris

(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
2. A*0=0, begitu juga 0*A=0.

(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
1 0
2 3


(iii) MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWA
a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian sehingga AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing).
b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut ANTI COMMUTE.
c. Mtriks M dimana Mk+1=M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks PERIODIK.
d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1=M maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k.
e. Jika k=1 sehingga M2=M maka M disebut IDEMPOTEN.
f. Matriks A dimana Ap=0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks NILPOTEN.
g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap=0 maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.

(iv) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
1 0 0
0 2 0
0 0 3

(v) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh :
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Sifat-sifat matriks identitas :
1. A*I=A
2. I*A=A

(vi) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
4 0 0
0 4 0
0 0 4

(vii) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.
1 3 2 1
0 1 2 3
0 0 4 0
0 0 0 1

(viii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.
1 0 0 0
4 2 0 0
1 2 3 0
1 3 2 1


1 2 0
2 3 1
0 1 1
1 2 0
2 3 1
0 1 1

(ix) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.



(x) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0
Contoh :
0 1 -3 0
-1 0 4 2
3 -4 0 -1
0 2 1 0

0 -1 3 0
1 0 -4 -2
-3 4 0 1
0 -2 -1 0 1


(xi) MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen-elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya.
1 2 0 0
1 2 3 0
0 2 3 4
0 0 4 5


(xii) MATRIKS JODOH Ā, adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen-elemnya.
2-3i -2i
5 3+i

2+3i 2i
5 3-

(xiii) MATRIKS HERMITIAN. Matriks bujursangkar A=(aij) dengan elemen-elemen bilangan kompleks dinamakan MATRIKS HERMITIAN jika (Ā)'=A atau matriks bujursangkar A disebut hermitian jika aij = āij . dengan demikian jelas bahwa elemen-elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan-bilangan riil.
Contoh :
2 5+i
5-i 3
2 5+i

5-i 3
2 5-i
5+i 3

Read More...

Sejarah Regresi

ANALISIS REGRESI


SEJARAH REGRESI
diperoleh dari berbagai sumber


Istilah regresi dikemukakan untuk pertama kali oleh seorang antropolog dan ahli meteorology Francis Galton dalam artikelnya “Family Likeness in Stature” pada tahun 1886. Ada juga sumber lain yang menyatakan istilah regresi pertama kali mucul dalam pidato Francis Galton didepan Section H of The British Association di Aberdeen, 1855, yang dimuat di majalah Nature September 1855 dan dalam sebuah makalah “Regression towards mediocrity in hereditary stature”, yang dimuat dalam Journal of The Antrhopological Institute (Draper and Smith, 1992).
Studinya ini menghasilkan apa yang dikenal dengan hukum regresi universal tentang tingginya anggota suatu masyarakat. Hukum tersebut menyatakan bahwa distribusi tinggi suatu masyarakat tidak mengalami perubahan yang besar sekali antar generasi. Hal ini dijelaskan Galton berdasarkan fakta yang memperlihatkan adanya kecenderungan mundurnya (regress) tinggi rata-rata anak dari orang tua dengan tinggi tertentu menuju tinggi rata-rata seluruh anggota masyarakat. Ini berarti terjadi penyusutan ke arah keadaan sekarang. Tetapi sekarang istilah regresi telah diberikan makna yang jauh berbeda dari yang dimaksudkan oleh Galton. Secara luas analisis regresi diartikan sebagai suatu analisis tentang ketergantungan suatu variabel kepada variabel lain yaitu variabel bebas dalam rangka membuat estimasi atau prediksi dari nilai rata-rata variabel tergantung dengan diketahuinya nilai variabel bebas.
Selanjutnya Karl Pearson, membuat sebuah jurnal Biometrika yang berisi hasil kajian penelitian statistika dari peneliti ASIA (menurutnya Asia lebih baik dalam perkembangan aritmatika dibandingkan dengan Eropa). Selanjutnya ditemukan teori kai kuadrat (chi square) X2 di tahun 1900, yaitu apabila datanya berkelompok (berbentuk kategorik). Mis : Kelompok perokok à berat, sedang, tdk merokok, kemudian Ca Paru à C1, C2 dan C3. Apakah ada hubungan antara kelompok perokok dengan status Ca Paru ?
Selanjutnya di abad ke 20, William S Gosset menemukan ‘distribusi t’ , menurutnya apabila n sampel semakin besar maka kurvanya semakin mencapai distribusi normal. Sampai n = 30 à normal.
Mengenai penamaan ‘t’ adalah singkatan dari student, diceritakan bahwa Gosset adalah seorang ahli kimia yang bekerja di pabrik Guinness beer, ketika ia menemukan teori tersebut dan akan dipublikasikan ke jurnal biometrika, maka pihak pabrik meminta diberikan nama teori sesuai dengan nama pabrik “Guinness”. Untuk menyamarkan penamaannya, maka ia menggunakan kata ‘student’ disebabkan ia adalah student dari Gauss.
Dalam perjalanan waktu ternyata distribusi t lebih popular dibandingkan dengan distribusi Z menunjukkan seringkali murid jauh lebih pintar dibandingkan dengan gurunya.
Selanjutnya distribusi F ditemukan oleh Fisher, merupakan pengembangan dari uji t dimana kombinasinya lebih banyak. Uji F, nantinya berkembang menjadi uji ANOVA (analysis of variance). Selanjunya seiring dengan pesatnya teknologi computer, maka perkembangan statistik melompat jauh ke depan.
Nachrowi dan Usman (2006) menjelaskan bahwa Gauss Markov telah membuktikan bahwa penduga dalam regresi mempunyai sifat BLUE (best linier unbiased estimate), atau mempunyai sifat yang linier, tidak bias, dan varians minimum, bila beberapa persyaratan terpenuhi. Manurung et al. (2005) mengatakan bahwa The Gaussian atau Classical Linear Regression Model (CLRM) membuat 10 asumsi. Asumsi tersebut adalah: (1) model regresi linier, (2) nilai variabel eksplanatoris tetap pada sampel berulang. Secara teknis variabel bebas diasumsikan nonstochastic, artinya analisis regresi adalah analisis regresi bersyarat pada nilai regressor tertentu, (3) nilai rata-rata dari disturbance term error ε adalah nol, (4) homoskedastisitas atau varians εi sama untuk seluruh observasi, (5) tidak ada otokorelasi antara disturbance term, (6) kovarians antara disturbance term regressor adalah nol, dengan kata lain disturbance term error dan regressor tidak berkorelasi, (7) jumlah observasi harus lebih besar dari jumlah parameter yang ditaksir atau jumlah observasi harus lebih besar dari jumlah variabel eksplanatoris, (8) variabilitas dalam variabel eksplanatoris, artinya nilai variabel bebas harus bervariasi, (9) model regresi dispesifikasi dengan benar, (10) tidak terdapat multikolinier sempurna.

Read More...

Uji 2 variansi

UJI HIPOTESIS STATISTIKA PADA UJUNG BAWAH DISTRIBUSI PROBABILITAS F FISHER-SNEDECOR

Dali S. Naga

Abstract. Some educationists doubt that a statistical test on the lower tail of F distribution is invalid because many statistics literatures using only upper tail test. Since F distribution function needs three parameters, i.e. a pair of degrees of freedoms and a level of significance, a complete table for all the parameters is very bulky. Hence, appendices in many books of statistics usually limit the table to only a pair of levels of significance, 0.05 and 0.01, for the upper tail and avoid the direct use of lower tails. Despite this limitation, equipped with a table containing both upper and lower tails, direct statistical test on the lower tail of F distribution is, however, equally valid.


Pendahuluan

Di dalam banyak buku statistika terapan, pada umumnya, uji hipotesis melalui distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor dilakukan pada ujung atas. Karena itu, timbul keraguan pada sejumlah pemakai statistika terapan tentang apakah uji hipotesis demikian boleh dilakukan juga pada ujung bawah. Hal ini layak kita simak dan mereka berkenaan dengan dua pertanyaan utama.

Dapatkah uji hipotesis statistika melalui distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor dilakukan pada ujung bawah?
Mengapa banyak buku statistika terapan melakukannya pada ujung atas?

Pembahasan mengenai kedua pertanyaan ini bermanfaat bagi kita, setidak-tidaknya, bagi mereka yang memiliki keraguan itu.


Ujung Bawah dan Ujung Atas

Sebagai gambaran tentang uji hipotesis statistika ujung bawah dan ujung atas pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor, di sini, ditampilkan dua contoh yakni contoh 1 dan contoh 2. Mereka bersama-sama menguji hal yang sama, kecuali contoh 1 mengujinya melalui ujung atas sedangkan contoh 2 mengujinya melalui ujung bawah.

Contoh 1. Kita ingin menguji hipotesis tentang apakah variansi populasi X lebih besar dari variansi populasi Y. Misalkan pengujian ini menggunakan sampel acak dengan ukuran sampel nX = 31 dan nY = 41 yang menghasilkan variansi sampel s2X = 5 dan s2Y = 2. Uji hipotesis ini dilakukan pada taraf signifikansi α = 0,05. Dalam hal ini, hipotesis statistika adalah


Dari variansi sampel diperoleh



Selanjutnya dari tabel fungsi ditribusi pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor untuk nX = nX – 1 = 30, nY = nY – 1 = 40, dan α = 0,05 kita temukan F(0,95)(30)(40) = 1,74 sehingga kriteria pengujian menjadi

Tolak H0 jika F > 1,740
Terima H0 jika F£ 1,740

Dan dalam hal ini, kita menolak H0.

Contoh 2. Kasus pada contoh 1 ingin kita uji melalui hipotesis statistika



Dari variansi sampel diperoleh



Selanjutnya dari tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor kita temukan F(0,05)(40)(30) = 0,537 sehingga kriteria pengujian menjadi

Tolak H0 jika F < 0,537
Terima H0 jika F ≥ 0,537

Dalam hal ini, kita menolak H0.

Read More...